有理数

1.正数和负数

知识点1：正数和负数的概念

• 像3，1.8%，3.5 这样大于0的数叫做正数。
• 像-3，-2.7%，-4.5，-1.2 这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数。
• 有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正）号。例如，+3，+2，+0.5，…就是 3，2，0.5，…； “+”号可以省略，而“-”号是绝对不能省略的。

知识点2：“0”的意义🌟

• 0即不是正数，也不是负数。
• 正数和0称为非负数，负数和0称为非正数。

知识点3：相反意义的量

在实际生活习惯中，常把零上的温度、上升的高度、收人的钱、买人物品等规定为正的，而把与它们意义相反的量规定为负的。对于相反意义的量可以从以下几方面去理解：

1. 相反意义的量既要意义相反，又要有数量；
2. 相反意义的量是成对出现的，单独一个量不是相反意义的量；
3. 互为相反意义的两个量在数量上可以不同；
4. 具有相反意义的量必是同类量，在表示相反意义的量时要写明单位.

2.有理数

2.1 有理数

知识点1：有理数的概念🌟

• 整数包括正整数、零、负整数。
• 分数包括正分数、负分数。
• 整数和分数统称为有理数。（注意）

知识点2：有理数的分类

引入负数后，数扩充到了有理数，有理数可以用以下两种方法来分类：

（1）按有理数的定义进行分类

有理数
├── 整数
|    ├── 正整数
|	 ├── 零
|    └── 负整数
└── 分数
 	 ├── 正分数
     └── 负分数

（2）按有理数的性质符号进行分类：

有理数
├── 正有理数
|    ├── 正整数
|    └── 正分数
├── 零
└── 负有理数
 	 ├── 负整数
     └── 负分数

知识点3：从分数的角度理解有理数

看，上述都可以写成分数形式。所以，==可以写成分数形式的数称为有理数==。🌟

但这里没有无限不循环小数！

2.2 数轴

知识点1：数轴的概念及画法

数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴包含三层含义🌟：

1. 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线;
2. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度;
3. 注意“规定”二字，是说原点的位置、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的

另外，原点将数轴（除原点外）分为两部分，其中正方向一侧的部分叫做数轴的正半轴；另一侧的部分叫做数轴的负半轴。

知识点2：数轴上的点与有理数的对应关系

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右侧，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左侧，与原点的距离也是a个单位长度.

任何有理数，都可以用数轴上的点来表示。🌟

2.3 相反数

知识点1：相反数的定义

相反数的定义：

• 像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。表示为a和-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
• 如2是-2的相反数，-2也是2的相反数；
• 0 的相反数是0。

相反数的意义：

• 相反数在数轴上分别位于原点的左右，到原点的距离相等。
• 数轴上与原点的距离是a(a是一个正数）的点有两个，分别在原点左右，表示-a和a；🌟
• 数轴上表示数0的点到原点的距离为0

知识点2：相反数的性质

相反数的性质：

• 任何一个数都有相反数，而且只有一个；
• 正数的相反数是负数；
• 负数的相反数是正数；
• 0的相反数是 0。（0是唯一一个相反数等于本身的数。如果a=-a，那么a一定是0。）

相反数的特征：

• 若a 与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）
• 若a+b=0（或a=-b）则a与b互为相反数

求一个数的相反数的方法：

• 求一个具体数的相反数时，只要改变这个数前面的符号，即可得到这 个数的相反数。
• 求一个字母或一个式子的相反数时，也只需在这个字母或这个式子的 整体前面加上“-”号，如a的相反数为-a，a-b的相反数为-(a-b)，这里的 括号是必须要加的。

知识点3：多重符号的化简

前面我们已经知道相反数的表示方法：数a 的相反数是-a，这里的数a 是任意有理数，即a可以是正数、负数或 0。

• 当a＞0时，-a<0（正数的相反数是负数）；
• 当a＜0时，-a>0（负数的相反数是正数）；
• 当a =0时，-a=0（0的相反数是0）。 注意：以上说明，-a不一定就是负数🌟

多重符号的化简方法：

• 一个正数前面有偶数个“-”号，可以把“-”号都去掉;
• 一个正数前面有奇数个“-”号，则化简符号后只剩一个“-”号;
• 0是唯一一个相反数等于本身的数。如果a=-a，那么a一定是0.

2.4 绝对值

知识点1：绝对值的定义

• 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
• 数a的绝对值记作“｜a｜”，读作“a 的绝对值”。
• 从几何意义上看，数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数。

知识点2：绝对值的性质与应用

绝对值的判断法则：

• 一个正数的绝对值是它本身；
• 一个负数的绝对值是它的相反数；
• 0的绝对值是 0 （0是绝对值最小的数）。

若几个非负数的和为零，则这几个数同时为零：即若｜a｜+｜b｜+｜c｜+…=0，则有｜a｜=0，｜b｜=0，｜c｜=0,…，所 以a=0，b=0，c=0,…

2.5 有理数的大小比较

知识点1：用数轴比较有理数的大小

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

知识点2：用法则比较有理数的大小

1. 正数大于0。0大于负数，正数大于负数。
2. 两个负数，绝对值大的反而小。
3. 两数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
   • 两数同号（同为正数绝对值大的数大；同为负数绝对值大的反而小）
   • 两数异号：正数大于负数；
   • 正数大于0，负数小于0；