01-三角形

1.三角形的概念

知识点1：三角形及其有关概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

如图所示，线段AB，AC，BC叫做三角形ABC的边，点A，B，C叫做三角形ABC的顶点，∠A，∠B，∠C叫做三角形ABC的内角（简称三角形的角）。

三角形ABC记作“ $\triangle ABC$ ”，读作“三角形ABC”。

知识点2：三角形的分类

（1）按边分类

三角形
├── 三边都不相等的三角形
└── 等腰三角形
 	 ├── 底边和腰不相等的三角形
     └── 等边三角形

（2）按角分类：

三角形
├── 直角三角形
└── 斜三角形
 	 ├── 锐角三角形
     └── 钝角三角形

2.与三角形有关的线段

知识点1：三角形的三边关系🌟

三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。🌟

💡推理证明：

知识点2：三角型的高

从三角形的一个顶点向它的对边作垂线, 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

如图所示，三角形的高的几何表达形式是:

AD是 $\triangle ABC$ 的边BC上的高
或 AD 是 $\triangle ABC$ 的高
或 AD⊥ BC 于点 D
或∠BDA=∠CDA=90°

温馨提示：

三角形的高是一条线段.
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部;
钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点;
直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部，它们的交点是直角顶点.

知识点3：三角形的中线🌟

在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

如图所示，三角形的中线的几何表达形式是：

$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的 $BC$ 边上的中线
或 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线
或 $BD=CD=1/2BC$

温馨提示：

三角形的中线是一条线段。
三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。🌟
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。🌟

知识点4：三角形的角平分线

在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做，三角形的角平分线。

如图所示，三角形的角平分线的几何表达形式是：

$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线
或 $\angle BAD=\angle CAD=1/2\angle BAC$ 且点 $D$ 在 $BC$ 上
或 $AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于 $D$ .

温馨提示：

三角形的角平分线是线段，而一个角的平分线是一条射线。🌟
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。

知识点5：三角形的稳定性

三角形的三条边确定好以后就可以确定一个固定的三角形，且三角形的形状，不会改变这个特性，就是三角形的稳定性。

3.与三角形有关的角

知识点1：三角形的内角和定理

三角形三个内角的和等于 180°。

💡推理证明一：

如图

过点B作BD//AC根据两直线平行，内错角相等，可得 $\angle I = \angle A$ 。
又根据两直线平行，同旁内角互补，可得 $\angle 1+\angle ABC+\angle C=180^{\circ}$
所以 $\angle A + \angle {ABC} + \angle C = {180}^{ \circ }$ 。

💡推理证明二：

image.png|188

如图

过点A做一条平行BC的直线L，
因为内侧角相等，因此 $\angle 4$ = $\angle 2$ ， $\angle 5$ = $\angle 3$
因为 $\angle 4 + \angle 1 + \angle 5 = {180}^{ \circ }$ ，所以 $\angle 2 + \angle 1 + \angle 3 = {180}^{ \circ }$

知识点2：直角三角形的性质与判定

直角三角形的两个锐角互余（所谓互余，就是两个角的度数相加等于 90°🌟）。

如何判定是三角形?

三角形有一个角是直角；
有两个角互余的三角形是直角三角形。

直角三角形 $ABC$ 也可以写成 $Rt\triangle ABC$ 。

知识点3：三角形的外角及性质

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。如图所示，∠ACD 是∠ABC 的一个外角。

image.png|200

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。🌟

温馨提示：

三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。
但通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角。
因为三角形的每个外角与和它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°。

4.多边形及其内角和

知识点1：多边形及其相关知识

1.多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角

2.什么是凸多边形？

画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形叫做凸多边形(如图所示)。

知识点2：多边形的对角线

定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线，因为n边形有n个顶点，所以共有 n(n-3)条，其中每条对角线都重复一次，因此共有n(n-3)/2条对角线。

image.png|400

知识点3：正多边形

定义：各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形

知识点4：多边形的内角和

n 边形的内角和公式:(n一2)×180°。（见前面多边形的对角线章节的配图）

知识点5：多边形的外角和

多边形的外角和(每个顶点处取一个外角)等于 360°。

外角和定理的证明:

多边形的每个内角与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为n×180°，外角和等于n×180°-(n-2)×180°=360°。

外角和定理的应用:

已知外角度数求正多边形的边数。
已知正多边形边数求外角度数。