04-整式乘法与因式分解

1.幂的运算

知识点1：同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

⚠️注意：

1. 性质中的字母 $a$ 既可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
2. 结果仍为幂的形式。
3. 三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$（$m, n, p$ 都是正整数），底数 $a$ 可以是任意数，也可以是单项式或多项式。
4. 同底数幂乘法运算性质的逆用：$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$（$m, n$ 都是正整数）。

知识点2：幂的乘方

对于任意底数 $a$ 与任意正整数 $m, n$，有 $(a^m)^n = a^{mn}$，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(1) 理解：

(2) 逆用：

例如：

(3) 推广：

知识点3：积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

如：$(3a^2b^3)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 9a^4b^6$

(1) 理解：

(2) 逆用：利用 $a^n b^n = (ab)^n$ 有时可以简化运算，如：

(3) 推广：$(abc)^n = a^n b^n c^n$（$n$ 为正整数）。

2.整式的乘法

知识点1：单项式×单项式

一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

举个例子：光的速度约是 $3 \times 10^5$ km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是 $5 \times 10^2$ s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？地球与太阳的距离约是 $(3 \times 10^5) \times (5 \times 10^2)$ km。

怎样计算 $(3 \times 10^5) \times (5 \times 10^2)$？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？

把上面数字改为字母算式：

从单项式的乘法法则不难得出： （1）系数相乘； （2）相同字母的幂相乘； （3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

知识点2：单项式×多项式

根据乘法对加法的分配律，即可得到单项式与多项式相乘的运算法则：

即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：

从上可以看出： （1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项。 （2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果。

知识点3：多项式×多项式

一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：

温馨提示: （1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏。 （2）多项式与多项式相乘，仍得多项式。在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。

3.整式的除法

知识点1：同底数幂的除法与零指数幂

$1.$ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即 $a^m \div a^n = a^{m-n}$（$a \neq 0$，$m$，$n$ 都是正整数，且 $m > n$）。

温馨提示： (1) 当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质。
例如：$a^m \div a^n \div a^p = a^{m-n-p}$（$a \neq 0$，$m, n, p$ 都是正整数，且 $m > n+p$）。 (2) 本法则还可以逆用，即 $a^{m-n} = a^m \div a^n$（$a \neq 0$，$m, n$ 都是正整数，且 $m > n$）。

2.任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a°=1(a≠0).

知识点2：单项式÷单项式

一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

知识点3：多项式÷单项式

一般的，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即

4.公式乘法

知识点1：平方差公式及如何利用其简便计算🌟

1.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，
即 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

2.平方差公式的几何意义

如图①，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，阴影部分的面积为 $a^2 - b^2$； 如图②，将图①中阴影部分拼成一个长方形，面积为 $(a+b)(a-b)$。 由图①②所得结果，知 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。

3.平方差公式的特点： ①左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的  和  可以表示具体的数、单项式，也可以是多项式。

知识点2：完全平方公式🌟

1.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 $2$ 倍，即 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$。

公式的变形：

(1) 改变符号运用公式计算
如： ① $(-a-b)^2 = [-(a+b)]^2 = (a+b)^2$；
② $(-a+b)^2 = [-(a-b)]^2 = (a-b)^2$。

(2) 根据加法的运算律变形运用公式
如： ① $(-a+b)^2 = (b-a)^2$；
② $(a-b-c)^2 = [a-(b+c)]^2$。

(3) 利用完全平方公式变形代数式
如：$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab$。

2.完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二 项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同。

5.因式分解

知识点1：因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

知识点2：用提公因式法分解因式

1.公因式

在多项式中，如果各项都有一个公共的因式，就把这个因式称为公因式。 确定公因式（五看）：

• 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
• 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
• 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
• 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
• 五看首项符号：若多项式中首项符号是“−”，则公因式的符号一般为负。

2.提公因式法分解因式

• 定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
• 实质：提公因式的实质是乘法分配律的逆用。
• 步骤：
  1. 确定公因式；
  2. 提公因式并确定另一个因式；
  3. 把多项式写成这两个因式的积的形式。

示例

分解因式：$12a^3b^2 - 18a^2b^3 + 6a^2b^2$。

• 确定公因式：系数 $12, -18, 6$ 的最大公因数为 $6$；相同字母为 $a$、$b$，指数分别取最低的 $2$、$2$，所以公因式为 $6a^2b^2$。
• 提公因式并确定另一个因式：
  • $12a^3b^2 \div 6a^2b^2 = 2a$
  • $-18a^2b^3 \div 6a^2b^2 = -3b$
  • $6a^2b^2 \div 6a^2b^2 = 1$
• 写成积的形式： $$12a^3b^2 - 18a^2b^3 + 6a^2b^2 = 6a^2b^2(2a - 3b + 1)$$

知识点3：用平方差公式分解因式

用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即

知识点4：用完全平方公式分解因式

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：

知识点5：$x^2+(p+q)x+pq$ 型的因式分解

形如 $x^2+(p+q)x+pq$ 的多项式，可以分解为：