05-分式

1.从分数到分式

知识点1：分式的概念

一般地，如果 $A$ 、 $B$ 表示两个整式，并且 $B$ 中含有字母，那么式子 $\dfrac{A}{B}$ 叫做分式。分式 $\dfrac{A}{B}$ 中， $A$ 叫做分子， $B$ 叫做分母。

提示

（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式；分数线除了起除号作用外，还具有括号的作用。
（2）分母中含有字母是分式的一个重要标志。判断一个式子是不是分式，不能先化简再判断。 $\dfrac{xy}{x}$ 是分式，但化简之后的 $y$ 是整式，即进行分式判断只看形式，不能看化简后的结果。

知识点2：分式有意义的条件

分式有意义的条件：分式的分母不等于 0.
分式无意义的条件：分式的分母等于 0.

知识点3：分式的值为0的条件

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为 0。

提示

分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的。所以使分式 $\dfrac{A}{B}$ 为0的条件是：A=0 且 B≠0.

2.分式的基本性质

知识点1：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：

\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \qquad \frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C} \quad (C \neq 0)

其中 $A, B, C$ 是整式。

知识点2：约分、最简分式

与分数的约分类似，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

示例

约分： $\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$

先因式分解： $x^2 - 1 = (x+1)(x-1), \qquad x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$
所以： $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}$

这里约去了公因式 $x+1$ ，最终 $\dfrac{x-1}{x+1}$ 就是最简分式。

注意

约分过程中，如果约去的因式含有字母，要注意分母不能为 0 的限制。例如上中需要 $x \neq -1$ 。

知识点3：通分

1. 分式的通分

与分数的通分类似，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

2. 最简公分母

各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

举例说明

将 $\dfrac{1}{x^2-4}$ 和 $\dfrac{1}{x^2+4x+4}$ 通分。

解：

因式分解分母： $x^2-4=(x+2)(x-2), \qquad x^2+4x+4=(x+2)^2$
最简公分母为： $(x-2)(x+2)^2$
通分： $\dfrac{1}{x^2-4}=\dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)^2}$ $\dfrac{1}{x^2+4x+4}=\dfrac{x-2}{(x-2)(x+2)^2}$

注意

通分时，分子、分母要乘同一个整式，且分母不能为 0。本例中 $x \neq \pm 2$ 。

3.分式的乘除

知识点1：分式的乘法

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

用式子表示为：

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

知识点2：分式的除法

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示为：

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

知识点3：分式的乘方

分式的乘方要把分子、分母分别乘方。

用式子表示为：

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

其中 $n$ 是正整数。

4.分式的加减

知识点1：同分母分式相加减

同分母分式加减法法则：分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

其中 $c \neq 0$ 。

知识点2：异分母分式相加减

异分母分式加减法法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。

用式子表示为：

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}

其中 $b \neq 0$ ， $d \neq 0$ 。

5.整式指数幂

知识点1：整数指数幂及其性质

1. 负整数指数幂的引入

若 $m$ ， $n$ 为正整数， $a \neq 0$ ，则：

a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

又因为当 $m<n$ 时：

\frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}

所以：

a^{-p} = \frac{1}{a^p}

一般地，当 $n$ 是正整数时：

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

即 $a^{-n}$ （ $a \neq 0$ ）是 $a^n$ 的倒数。这样，指数的取值范围就推广到了全体整数。

2. 零指数幂的规定

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

即任何不等于 $0$ 的数的 $0$ 次幂都等于 $1$ 。

3. 整数指数幂的运算性质

上述式子中， $m$ ， $n$ 均为任意整数：

\begin{align} a^m \cdot a^n &= a^{m+n} \tag{1} \\ \left(a^m\right)^n &= a^{mn} \tag{2} \\ \left(ab\right)^n &= a^n b^n \tag{3} \\ a^m \div a^n &= a^{m-n} \tag{4} \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0) \tag{5} \end{align}

注：其中 $m, n$ 均为任意整数。

知识点2：科学记数法

把一个绝对值小于 1 的数表示成 $a \times 10^{-n}$ 的形式，其中 $a$ 的范围是 $1 \le |a| < 10$ ， $n$ 为正整数。

确定 $n$ 的方法： $n$ 的值是这个数从左边起第一个不为 0 的数字前面 0 的个数（包括小数点前的那个 0）。

举例说明

将 $0.00032$ 用科学记数法表示。

从左边起第一个不为 0 的数字是 $3$ ，它前面有 $4$ 个 0（小数点前 1 个，小数点后 3 个），所以 $n = 4$ 。
将小数点移到第一个不为 0 的数字 $3$ 的后面，得 $a = 3.2$ ，满足 $1 \le |a| < 10$ 。

因此：

0.00032 = 3.2 \times 10^{-4}

6.分式方程

知识点1：分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

温馨提示

（1）从分式方程的定义中可以看出分式方程的两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数。
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。

举例说明

$\dfrac{1}{x-1} = 2$ 是分式方程，因为它既是方程，分母中又含有未知数 $x$ 。
$\dfrac{x}{2} + 1 = 0$ 不是分式方程，而是整式方程，因为它的分母是常数 $2$ ，不含未知数。
分式方程 $\dfrac{1}{x-1} = 2$ 可以通过去分母转化为整式方程 $1 = 2(x-1)$ 。

给你一道典型的分式方程例题，包含验根过程：

例：解方程

\frac{x+1}{x-1} - \frac{4}{x^2-1} = 1

解：

因式分解分母： $x^2-1=(x+1)(x-1)$
方程两边同乘最简公分母 $(x+1)(x-1)$ ，得：
$(x+1)^2 - 4 = x^2-1$
展开并整理：
$x^2+2x+1-4 = x^2-1$
$2x-3 = -1$
$2x=2$
$x=1$
检验： 当 $x=1$ 时，原方程中的分母 $x-1$ 和 $x^2-1$ 均为 $0$ ，所以 $x=1$ 是增根，应舍去。

因此，原分式方程无解。

注意

解分式方程后必须验根——去分母可能产生使分母为 $0$ 的增根，要舍去。